Колмогоров А.Н., Юшкевич А.П. (ред.) Математика XIX века: Чебышевское направление в теории функций. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Вариационное исчисление. Теория конечных разностей

М.: Наука, 1987. — 318 с.Настоящее издание продолжает серию книг по истории математики XIX—XX вв., издаваемых Институтом истории естествознания и техники АН СССР под общей редакцией А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича. Первая книга серии «Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей» вышла в свет в 1978 г., вторая «Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций» — в 1981 г. В настоящей книге анализируется развитие в XIX в. конструктивной теории функций, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, вариационного исчисления и теории конечных разностей.
Книга рассчитана на специалистов-математиков, историков науки и студентов математических специальностей университетов и педагогических институтов.Предисловие
Чебышевское направление в теории функций (Я.И.Ахиезер)
Введение
Теория функций, наименее уклоняющихся от нуля
Лекции А. А. Маркова
Задачи Е. И. Золотарёва, неравенство В. А. Маркова
Чебышевская задача построения географических карт
О непрерывных дробях
Специальные системы ортогональных многочленов
Зависимость от параметров корней многочленов, получаемых при обращении рядов в непрерывные дроби
Исследования о предельных величинах интегралов
Заключение
Обыкновенные дифференциальные уравнения
(С.С.Демидов при участии С.С.Петровой и Н.И.Симонова)
Итоги развития теории обыкновенных дифференциальных уравнений в XVIII в.
Проблема существования и единственности
Работы Коши
Первый метод. Второй метод
Развитие метода мажорант
Метод Коши—Липшица
Метод последовательных приближений
Интегрирование уравнений в квадратурах
Лиувилль и уравнение Риккати
Новые классы интегрируемых уравнений
Уравнения Якоби . Исследования Миндинга . Уравнение Дарбу . Метод последнего множителя Якоби. Уравнение Пфаффа
Софус Ли и проблема интегрируемости дифференциальных уравнений в квадратурах
Особые решения
Феномен «особого решения». Теория Лагранжа. Примеры Коши и Курно. Дарбу и его полемика с Каталаном. Дальнейшее развитие теории особых решений
Линейные дифференциальные уравнения
Общая теория
Методы понижения порядка . Линейная независимость решений. Определитель Вронского . Символическое исчисление . Уравнения с постоянными коэффициентами. Методы Бриссона и Коши . Уравнения с постоянными коэффициентами. Методы Грегори и Буля . Уравнения с переменными коэффициентами. Работы Буля . Исчисление Хевисайда. Аналогия с алгебраическими уравнениями. Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами
Краевые задачи. Теория Штурма—Лиувилля
Работы Штурма . Работы Лиувилля. Дальнейшее развитие теории Штурма — Лиувилля
Решение уравнений в виде рядов и специальные функции
Уравнение цилиндрических функций. Исследования Сонина по теории цилиндрических функций. Уравнение сферических функций. Гипергеометрическое уравнение. Другие уравнения, определяющие специальные функции
Аналитическая теория дифференциальных уравнений
Начало теории Коши. Работы Брио и Буке
Б. Риман
3.Л.Фукс
А.Пуанкаре
Нелинейные уравнения
Исследования русских математиков
П.Пенлеве
Качественная теория дифференциальных уравнений
Качественная теория Пуанкаре
Начало качественной теории . Мемуар Пуанкаре 1881—1886 гг.Последующие результаты Пуанкаре по качественной теории дифференциальных уравнений
Теория устойчивости Ляпунова
А. М. Ляпунов . Исследования по теории устойчивости систем с конечным числом степеней свободы до Пуанкаре и Ляпунова. «Общая задача об устойчивости движения» Ляпунова . Первый метод . Второй метод . Правильные системы
Дальнейшее развитие качественной теории дифференциальных уравнений
Заключение
Вариационное исчисление (А.В. Дорофеева)
Введение
Вариационное исчисление в первой половине XIX в.
Теория экстремумов кратных интегралов
Теория Гамильтона—Якоби
Достаточные условия слабого экстремума
Вариационное исчисление во второй половине XIX в
Доказательства критерия Якоби и его уточнения. Проблема различения слабого и сильного экстремумов
Вариационное исчисление Вейерштрасса
Теория простейшей вариационной задачи во второй половине XIX в
Создание теории поля
Изопериметрическая задача
Задача Лагранжа. Проблемы Майера и Больца
Заключение. О некоторых направлениях в развитии вариационного исчисления на рубеже XIX и XX вв
Часть четвертая Исчисление конечных разностей (С.С.Петрова, А.Д.Соловьев)
Интерполяция
Конечная интерполяция
Интерполяционные ряды Лапласа
Интерполяционные ряды Абеля
Оценка остаточного члена в интерполяционной формуле Лагранжа
Аналитические методы в теории интерполяции
Вычеты у Коши и интерполяционная задача . Исследования Фробениуса сходимости интерполяционных рядов . Интерполяционная задача с кратными узлами у Эрмита. Дальнейшие исследования интерполяционных рядов
Формула суммирования Эйлера—Маклорена
Задача суммирования
Полусходящиеся ряды. Исследования Лежандра
Вывод Пуассоном формулы суммирования с остаточным членом
Вывод Абеля
Вывод Якоби. Условия обвертываемости
Формула суммирования у Остроградского
Уравнения в конечных разностях
Постановка задачи. Итоги развития теории в XVIII в
Методы Лапласа
Исследования Пуанкаре
Заключение
Библиография (Ф.А. Медведев)
Указатель имен (А.Ф.Лапко)