Яглом И.М. Математические структуры и математическое моделирование

М.: Советское радио, 1980. — 144 с.Из предисловия автора:Одним из основных проявлений происходящего в наши дни общенаучного переворота, связанного с возникновением кибернетики и созданием ЭВМ и получившего в газетах кодовое наименование НТР, является колоссальная математическая экспансия, вторжение математики во все новые, ранее ею никак не контролируемые территории. Математическими методами ныне широко пользуются представители самых разных, как естественнонаучных, так и гуманитарных, областей знания; обстоятельные курсы математики изучаются студентами биологических и филологических, экономических и юридических факультетов университетов. Все это сделало понимание путей использования математического аппарата во внематематических исследованиях чуть ли не одним из важнейших элементов общей культуры, а владение терминами «математическая структура» и «математическая модель», быть может, даже знание громкого имени Никола Бурбаки – необходимыми атрибутами образованного человека. Более того, сегодня и многие конкретные типы алгебраических структур (скажем, группа) входят в научный багаж весьма широкого круга лиц. Так, автор настоящих строк вспоминает темпераментное выступление «потребителя» математики на одном из совещаний работников высшей школы, сетовавшего, что выпускники наших втузов незнакомы «со столь необходимым каждому понятием, как конечные поля Галуа» (впрочем, выступающий был связистом, а инженерам-связистам владение этим понятием ныне действительно нужно).
Таким образом, наряду с книгами об отдельных разделах математики становятся актуальными и книги общего плана, посвященные современным взглядам на приложения математики и понятию математической модели, а между тем книг подобного рода у нас почти нет. Настоящая книга и рассчитана на то, чтобы хоть частично заполнить этот пробел. Хочется лишь подчеркнуть, что она, разумеется, удовлетворит указанную потребность в очень малой степени, ибо здесь нужны были бы многочисленные и достаточно разнообразные по стилю и уровню сочинения, рассчитанные на разные категории читателей.
Основное место в книге отведено общим вопросам (включая и значительный историко-научный материал, позволяющий проследить за становлением современных воззрений на сущность математики и пути ее применений); несколько более конкретный характер имеют лишь § 5 и 6, посвященные обзору основных алгебраических структур и более подробному разбору той структуры, которая связана с геометрическими рассмотрениями. Включенные в текст примеры позволяют составить некоторое представление и о применении математических конструкций к решению частных задач: они включают темы из филологии и биологии (см. текст, напечатанный на с. 120-127 петитом), вопрос о согласовании экспертных оценок (см. пример 2 из § 4) или проблему, относящуюся к области так называемой этнологии (или структурной антропологии-см. упр. 4.19 на с. 72-73 г).
Ориентация на широкий круг достаточно разнородных по подготовке и по характеру интересов читателей определила обширность списка литературы, ни в коем случае не претендующего на полноту и включающего достаточно далекие друг от друга литературные источники - от элементарных книг и статей, рассчитанных на начинающих, иногда даже на школьников, до серьезных научных монографий (число которых, впрочем, невелико). Хочу только предупредить, что на математиков эта книга ни в коей мере не рассчитана, хотя студентам младших курсов математических специальностей университетов и пединститутов она может оказаться полезной.
У читателя книги предполагаются знания в объеме школьного курса математики; отступления от этого правила весьма малочисленны и вполне могут быть опущены (все они отнесены в петит). В тех редких случаях, когда то или иное предложение сопровождается полным доказательством, начало и конец доказательства отмечаются знаками; возможно, что и эти знаки кое-кто из читателей воспримет как приглашение пропустить соответствующий отрывок текста.
Немногочисленные упражнения могут доставить полезную возможность самопроверки степени усвоения материала, которой никак не следует пренебрегать; некоторые упражнения к тому же расширяют и дополняют основное содержание книги. Для упражнений, как и для формул, выбрана система двойной нумерации, где первое число указывает номер параграфа, а второе – упражнения или формулы; при ссылке на упражнение (формулу) того же параграфа первое число просто опускается. Указания к решению упражнений, приведенные в конце книги, составлены довольно эскизно, причем степень подробности указаний для разных упражнений - разная; некоторые упражнения вообще не сопровождаются указаниями.
Рукопись книги была внимательно прочитана Л. И. Головиной и А. М. Ягломом, которых я благодарю за оказанную мне помощь и за конструктивную критику. При этом автор, разумеется, несет единоличную ответственность за все положения книги, некоторые из которых, впрочем, для большей наглядности намеренно несколько заострены.Содержание:Предисловие
Что такое математика
Когда возникла математика?
Математические структуры Никола Бурбаки
Два примера аксиоматических теорий
Основные типы алгебраических структур
Что такое элементарная геометрия
Математические модели и реальный мир
Ответы и указания к упражнениям
Список литературы