Фосс Аурель. Сущность математики

М.: Либроком, 2009. — 120 с. — (Физико-математическое наследие). — ISBN: 978-5-397-00272-1.Чем, собственно, занимается математика? Почему она долго являлась наименее популярной из всех наук, несмотря на то, что вся человеческая культура имеет подлинной своей основой математические науки? Каким образом она играет в нашей культуре ту выдающуюся роль, какая фактически все же выпала на ее долю? В чем состоит сущность математики? Эти и другие вопросы рассмотрены в книге немецкого ученого, посвященной сущности математики, в том числе и с точки зрения исторического развития этой науки. Книга адресована ученым — математикам и философам, аспирантам и студентам вузов, всем, кто интересуется историей и методологией математики.Значение математики для развития и для понимания нашей технически-научной культуры
Несколько слов относительно общего понимания сущности и задач математики
Очерк исторического развития математики от древнейших времен до настоящего времени
Начатки математического знания. Математика египтян. Математика у греков и у индусов. Математика в средние века. Математика к концу XVI в. Проблема касательной и вычисления площадей. Аналитическая геометрия. Понятие функции. Учение о движении. Скорость и ускорение. Начатки исчисления бесконечно-малых. Кеплер и Ньютон. Ньютон и Лейбниц. Исчисление бесконечно-малых в XVIII в.
Чистая математика как наука о числахЧто такое математика? Понятие математики. Чистая математика как наука о числах. Исчисление бесконечно-малых в первоначальной его стадии.
Математическое познание в XIX векеАрифметизирование математики. Развитие теории чисел. Основы теории чисел. Целые числа. Дробные и отрицательные числа. Мнимые числа. Принцип перманентности. Комплексные числа. Кватернионы и гиперкомплексные числа. Иррациональные числа. Учение о пропорциях у греков. Теория иррациональных чисел Дедекинда. Континуум вещественных чисел. Общее понятие числа. Дифференциал у Лейбница и у Эйлера. Понятие предела у Больцано и Коши. Арифметика иррациональных чисел. Линейный континуум. Учение о величинах. Расширения понятия числа. Понятие функции. Функции комплексных переменных. Аналитические функции. Мнимые числа в анализе. Дифференциальные уравнения. Существование решений. Характер решений. Дифференциальные уравнения в частных производных. Интегральные уравнения. Определенный интеграл. Учение о множествах. Эквивалентность множеств. Парадоксы теории множеств. Трансфинитные множества. Континуум. Понятие измерения. Понятие кривой. Порядковый тип множества. Трансфинитные порядковые числа. Полная упорядоченность континуума. Точечные множества. Определенный интеграл у Коши и Риманна. Интегрируемые функции. Основная теорема интегрального исчисления.Область приложений математики. Геометрия и механика
Интуиция и понятие числа. Геометрия Евклида. Гаусс и Лобачевский. Риманн. Понятие и интуиция в геометрии. Мера кривизны пространства. Не-евклидовы геометрии. Их наглядность. He-евклидова геометрия. Отсутствие в ней противоречий. Новейшая аксиоматика. Механика. Теория относительности. Координатная система теории относительности. Измерение времени. Преобразования Лоренца. Новая механика
Аксиоматика в арифметике
Прогресс математического знания
Принцип индукции. Развитие и прогресс в математике.
Объективная ценность математика
Необходимость основательной математической подготовки, реформа преподавания математики
Заключение
Указатель имен и предметов